Effiziente Berechnung des Potentials eines Tesseroids sowie seiner ersten und zweiten Ableitungen

K. Seitz, F. Wild, B. Heck

Geodätisches Institut, Universität Karlsruhe (TH), Englerstr. 7, D-76128 Karlsruhe

Topographische Reduktionen in der Physikalischen Geodäsie

Theorie von Stokes

Zielsetzung: Bestimmung des Geoids

Randwertproblem (RWP) nach Stokes:
• Randfläche = (Co-) Geoid
→ Topographische (+ isostatische) Reduktionen

Theorie von Molodensky

Zielsetzung: Bestimmung der Erdoberfläche S und des Schwerepotentials W im Außenraum

Randwertproblem nach Molodensky:

Prinzipiell sind keine topographischen Reduktionen erforderlich
Werden zur Glättung eingesetzt

→ RTM (Residual Terrain Modelling)
→ RRT (Remove-Restore Technique)

Approximation der (residualen) Topographie durch homogenes vertikales Prisma

Koordinatensystem ist das Kantensystem des Quaders
Transformation des Effekts des vertikalen Prismas auf δg und M in das topozentrische Horizontsystem des Berechnungspunktes P
Abstand zwischen dem Berechnungspunkt P und dem variablen Integrationspunkt Q:

Einfluss auf das Potential in P

Einfluss auf die Schwere in P

Einfluss auf die zweite radiale Ableitung in P

Für das vertikale Prisma mit konstanter Dichte existieren analytische Lösungen bezüglich des Potentials, seiner ersten Ableitungen und der Elemente des Marussi-Tensors

Hoher numerischer Aufwand
Rechenzeitintensive Auswertung der Funktionen atan und ln

Approximation der (residualen) Topographie durch Tesseroid

Begrenzt durch geographische Gitterlinien und Flächen konstanter Höhe
Unterteilung der Oberfläche des Referenzellipsoids bezüglich der geographischen Gitterlinien
Sphärische Approximation des Tesseroids
Abstand zwischen dem Berechnungspunkt P und dem variablen Integrationspunkt Q:

Einfluss auf das Potential in P

Einfluss auf die Schwere in P

Einfluss auf die zweite radiale Ableitung in P

Es existieren keine elementaren Lösungen: Elliptische Integrale !

Approximative Lösung durch Taylorreihenentwicklung des Integranden
Taylorpunkt = geometrischer Mittelpunkt des Tesseroids
Reihenentwicklung erster Ordnung → entspricht der Approximation durch eine Punktmasse
Terme zweiter Ordnung entfallen auf Grund der Symmetrie, falls der Taylorpunkt im Mittelpunkt des Tesseroids gewählt wird
In unserer Theorie dritter Ordnung verbleiben vier Koeffizienten

→ Einfache Handhabung, starke Reduzierung der erforderlichen Rechenzeit

Approximationsfehler des Potentials, seiner ersten und zweiten radialen Ableitung

Dimension des Tesseroids: 5’ x 5’ x 2 km
Berechnungspunkt P(r,φ,λ) am Pol

r = R + h; h(V) = h(g^*_z) = 2 km; h(M_rr) = 260 km

Vergleich der Rechenzeit Tesseroid versus Punktmasse versus Prisma

Potential und seine ersten und zweiten Ableitungen
Berechnet mit dem globalen DGM JGP95E (5’ x 5’)

→ Die Rechenzeit reduziert sich um das zehnfache, wenn Tesseroide an Stelle von Prismen verwendet werden