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Die Berechnung elliptischer Integrale.

Die Berechnung elliptischer Integrale.
Typ:Diplomarbeit
Datum:1999
Betreuer:

Aufgabensteller:
Prof. Dr.-Ing. G. Schmitt
Betreuer:
Dr.-Ing. N. Rösch

Bearbeiter:Kern, M.
Zusatzfeld:

IBNr: 826

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In der Geodäsie spielen elliptische Integrale eine wichtige Rolle. Die Diplomarbeit umfaßt daher auch die Theorie, die mathematische Herleitung und Entwicklung der elliptischen Integrale, sowie die Verfahren und Methoden um diese zu berechnen. Die Berechnung der Meridianbogenlänge wurde als Präzedenzfall für elliptische Integrale angeführt. Der klassische Weg zur Berechnung der, analytisch nicht lösbaren, elliptischen Integrale ist die Entwicklung der Ausdrücke in eine Reihe und die anschließende gliedweise Integration. Weiter sind die Methoden numerische Integration und die sogenannten Landentransformation zu erwähnen.

 

Bei dem Vergleich der Verfahren ergab sich, daß die Reihenentwicklung bei den herkömmlichen Ellipsoiden und Parametern die kürzeste Rechenzeit und mm-Genauigkeit garantierte. Die Landentransformation erwies sich als äußerst stabiles und effektives Verfahren. Bei speziell gewählten Ellipsoidparametern versagt jedoch die Reihenentwicklung und man muß zwangsläufig auf die Landentransformation oder auf die langsamen numerischen Verfahren zurückgreifen. Die Vorteile der Landentransformation und der numerischen Verfahren liegen in der einfachen Genauigkeitssteuerung durch Variation der Abbruchschranke sowie den gesicherten Lösungen.

 

Schließlich kann also festgehalten werden, daß die Landentransformation für nachfolgende wissenschaftliche Arbeiten verwendet werden kann und stabile Ergebnisse liefert. Die Reihenentwicklung sollte nur für elliptische Integrale eingesetzt werden, deren Modul weit unterhalb von 1 liegt. Dort kann die Reihenentwicklung aber als konkurrenzlos wirtschaftlichstes Verfahren betrachtet werden. Die numerischen Methoden bieten aufgrund ihrer langsamen Berechnungszeit nur begrenzt eine Alternative zu der Landentransformation. So ist für die Berechnung elliptischer Integrale die Landentransformation, bzw. die Reihenentwicklung bei unkritischen Ellipsoidparametern, einzusetzen.