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Statistische Beurteilung der Identifikation quadratischer Formen in Ebene und Raum.

Statistische Beurteilung der Identifikation quadratischer Formen in Ebene und Raum.
Typ:Diplomarbeit
Datum:1998
Betreuer:

Aufgabensteller:
Prof. Ir. J. van Mierlo
Betreuer:
Dr.-Ing. H. Kutterer

Bearbeiter:Bock, H.
Zusatzfeld:

IBNr: 813

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Die Industrievermessung beschäftigt sich unter anderem mit der Formenanalyse von Objekten in der Ebene und im Raum. In Analogie zum Maschinenbau (siehe Schwarz, W. (1995)) werden dabei aufgrund einer nur punktweise erfaßten Werkstückoberfläche Ersatzformelemente für die Objekte gesucht, um sie damit möglichst genau zu approximieren. Für diese Ersatzelemente bieten sich in vielen Fällen quadratische Formen, sog. Quadriken, an. Drixler, E. hat dazu in seiner Dissertation (1993) ein Ausgleichungsmodell vorgestellt, mit dem man, ohne vorherige Kenntnis von Näherungswerten, die Parameter auf direktem Weg bestimmen kann. Dieses Modell wird in der Arbeit auf die Ausgleichung von Quadriken angewendet. Nach einer Hauptachsentransformation kann anhand der Eigenwerte eine Klassifizierung durchgeführt werden. Da die völlig allgemeine Form der Quadrik als Ansatz gewählt wird, und die Messungen natürlich fehlerbehaftet sind, ist die Identifizierung der quadratischen Form nicht immer eindeutig.

 

Die Aufgabe dieser Diplomarbeit war es nun, die Formeln zur statistischen Beurteilung der Identifikation der quadratischen Formen herzuleiten, um damit dann anhand von statistischen Tests die Form eindeutig zu identifizieren. Neben einem einfachen Ansatz zur Bestimmung der Varianz-Kovarianzmatrix der Eigenwerte, wurde auch noch ein zweiter Ansatz verwendet, der aus einer Veröffentlichung von Xu, P., Grafarend, E.W.(1996) stammt, und der das nichtlineare Fehlerfortpflanzungsgesetz zur Bestimmung der Varianz-Kovarianzmatrix verwendet. Unter anderem wurden diese beiden Ansätze im Verlauf der Arbeit miteinander verglichen. Anhand von umfangreichen numerischen Beispielen wurde die Identifikation der quadratischen Formen mit Hilfe der hergeleiteten statistischen Tests im Zweidimensionalen überprüft. Im dreidimensionalen Fall wurden aus Zeitgründen nur ansatzweise Untersuchungen durchgeführt.

 

Es stellte sich dabei heraus, daß die Anwendung des nichtlinearen Fehlerfortpflanzungsgesetzes nicht zwingend notwendig ist, um die Formen zu klassifizieren. Denn die Sensitivität der statistischen Tests ist bei dem einfachen Ansatz sogar höher. Insgesamt stellt die statistische Beurteilung der Identifikation der quadratischen Formen eine sinnvolle Erweiterung der Formenanalyse in der Industrievermessung dar, obwohl es auch noch einiger Verbesserungen bedarf. Diese sind vor allem im Bereich der Varianzfortpflanzung auf die relevanten Größen im dreidimensionalen Fall notwendig.