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Approximation von unregelmäßig verteilten Daten im R3 durch Bézier-Spline-Flächen.

Approximation von unregelmäßig verteilten Daten im R3 durch Bézier-Spline-Flächen.
Typ:Diplomarbeit
Datum:2001
Betreuer:

Aufgabensteller:
Prof. Dr.-Ing. G. Schmitt
Betreuer:
Dipl.-Ing. G. Dinter
Dr.-Ing. K. Spitzmüller

Bearbeiter:Abele, M.
Zusatzfeld:

IBNr: 860

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Bei vielen Anwendungen in der Geodäsie werden Daten, die sich auf ein Objekt beziehen, punktweise gewonnen. Aus diesen Daten soll oftmals eine Aussage über das ganze Objekt getroffen werden, im besonderen auch für Punkte, für die keine Messungen zu Verfügung stehen. Deshalb ist es sinnvoll, diese punktbezogenen Daten flächenhaft zu approximieren. Als geeignete Modellflächen für eine solche Approximation wurden Dreiecks-Bézierflächen verwendet.

 

Ziel dieser Arbeit war es, eine Software zu entwickeln, die dreidimensionale Geschwindigkeitsparameter für diskrete Stationen an der Erdoberfläche mittels Bézier-Spline-Flächen bezüglich einer Dreiecksvermaschung approximiert. Dazu wurden in dieser Arbeit aufbauend auf den Darstellungen in der Dissertation von Herrn Rawiel die Grundlagen für eine Approximation unregelmäßig verteilter Daten mit Bézier-Spline-Flächen erarbeitet und dahingehend erweitert, daß nicht die Ebene, sondern kugelartige Flächen als Bezugsfläche der Daten dienen. Die Approximation wurde mit Hilfe einer Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate durchgeführt, in der die Unsicherheiten der Ausgangsdaten in Form von Varianzen und Kovarianzen mit eingeführt wurden, so daß auch für die geschätzten Parameter Genauigkeiten berechnet werden können. Unter Anwendung der Fehlerfortpflanzung kann damit auch eine Genauigkeitsaussage für jeden beliebigen Punkt der Approximationsfläche gemacht werden. Als Programmiersprache wurde dazu Java verwendet.

 

Mit der realisierten Software können wahlweise C0-, C1- oder C2-stetige Bézier-Spline-Flächen berechnet werden, deren Polynomgrade beliebig wählbar sind. Dazu muß ein Dreiecksnetz auf der Bezugsfläche definiert werden, welches die Beobachtungsstationen umgibt.

 

Die entwickelte Software konnte schließlich an gegebenen Beispieldaten innerhalb des SFB 461 (Starkbeben in Rumänien) an einem Deformationsnetz getestet werden. Anhand der Ergebnisse wurden die Eigenschaften des Verfahrens hinsichtlich verschiedener Kriterien untersucht und entsprechend erläutert.

 

Speziell wurden die Ergebnisse für die unterschiedliche Wahl der Dreiecksnetze, des Polynomgrades und der Ci-Stetigkeit genauer betrachtet. Zusätzlich wurde aufgrund der wenigen Beobachtungstationen eine Version berechnet, bei der die Beobachtungsdaten zunächst auf ein regelmäßiges Raster vorinterpoliert wurden, so daß an den Rändern des Dreiecksnetzes keine ungewollten Eigenschaften einer Extrapolation auftreten.

 

Die Bézier-Spline-Flächen können mit Mathematica berechnet und angezeigt werden. Folgendes Beispiel zeigt links die Bézier-Spline-Fläche (dunkles Gitternetz) für die Geschwindigkeiten in Richtung der ellipsoidischen Höhe über dem Rotationsellipsoid als Bezugsfläche (helles Gitternetz) und rechts zur besseren Interpretation die Ergebnisse der Flächen für die Geschwindigkeiten in Richtung der geographischen Länge und Breite in einem Pfeilbild. Berechnet wurden dabei jeweils C1-stetige Bézier-Spline-Flächen dritten Grades über einem Dreiecksnetz, bestehend aus 18 Teildreiecken, wobei die Beobachtungsdaten vorinterpoliert wurden.