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Studienarbeit 196

Untersuchungen zur numerischen Stabilität der Tesseroidformeln.

von Melanie Müßle

Aufgabensteller: Prof. Dr.-Ing. Dr.h.c. Bernhard Heck
Betreuer: Dr.-Ing. Kurt Seitz 
Interne Bibliotheksnummer: 196

Zur Berechnung der Schwere- oder Potentialwirkung der Erdmassen lässt sich das Gelände z.B. durch Tesseroide approximieren. Für einen im Nahbereich eines Tesseroids gelegenen Aufpunkt können numerische Probleme bei der Auswertung der Tesseroidformeln auftreten. Im Rahmen dieser Arbeit wird untersucht, ab welchem Abstand zwischen Aufpunkt P und Tesseroidmittelpunkt Q in Abhängigkeit der jeweiligen Tesseroiddimensionen, eine vorgegebene Genauigkeit noch eingehalten wird.

Es wird der Einfluss eines Tesseroids auf Potential und Schwere untersucht. Die mit den Tesseroidformeln berechneten Funktionswerte werden jeweils mit einer Referenzlösung verglichen. Diese kann für einen Aufpunkt auf der Polachse durch die Differenz zweier Kugelkappen dargestellt werden, für die Potential und Schwere exakt berechnet werden können. Für einen beliebigen anderen Aufpunkt wird der Referenzwert durch Unterteilung des Tesseroids in viele kleine Tesseroide generiert, deren Potential- und Schwerewirkungen aufsummiert werden. Dabei wird die Unterteilung so fein gewählt, dass eine konvergente Lösung entsteht. Es wird jeweils die Differenz zwischen Soll- und Ist-Wert gebildet und graphisch dargestellt:

 

GKukapp3Sekdr1000mh1000m   G2diffphi00dphi3Sekundendr1000h1000

a) Aufpunkt auf Polachse

 

b) Tesseroid am Äquator,
    Sollwert: δg ≈ 2 · 10-8 m/s2

Abbildung 1: Differenz der Schwere zum Referenzwert für ΔΦ = Δλ= 3", Δr = 1000 m, h = 1000 m

 

Im Rahmen der durchgeführten numerischen Untersuchungen stellt sich heraus, dass die Ausdehnung des kritischen Nahbereichs von dem Verhältnis zwischen Höhe und Breite des entsprechenden Tesseroids abhängt. Es werden empirische Faktoren ermittelt, die den einzuhaltenden Abstand zwischen Aufpunkt und Tesseroidmittelpunkt als Vielfaches der entsprechenden Tesseroiddimensionen angeben.

Für die Berechnung des Potentials und dem Vorliegen von säulenartigen Tesseroiden wurde ein Faktor 3 · Δr/(r0 ΔΦ) und für flache, plattenartige Tesseroide ein Faktor 3 ermittelt. Für die Berechnung des gravitativen Effekts bei säulenartigen Tesseroiden wurde ein Faktor 6 · Δr/(r0 ΔΦ) und für flache, plattenartige Tesseroide ein Faktor 6 ermittelt. Die horizontalen Faktoren geben die notwendige sphärische Distanz als Vielfaches der Lageauflösung ΔΦ = Δλ an. Das entspricht in Nord-Süd-Richtung auch der Anzahl an Rasterelementen. In Ost-West-Richtung dagegen ist die Anzahl außer am Äquator aufgrund der Meridiankonvergenz größer. Hier muss der Faktor durch cos Φ0 geteilt werden, um die erforderliche Anzahl an Rasterelementen zu erhalten. In vertikaler Richtung geben die Faktoren diejenige Höhe als Vielfaches von Δr an, in der die Relativgenauigkeit von 10-4 erreicht wird.

Eine Untersuchung der zweiten Ableitungen des Gravitationspotentials wäre ebenfalls interessant.

 

Ausgewählte Literatur

Heck, B.; Seitz, K. (2007): A comparison of the tesseroid, prism and point-mass approaches for mass reductions in gravity field modelling. Journal of Geodesy 81: 121-136