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Effiziente Berechnung des Potentials eines Tesseroids sowie seiner ersten und zweiten Ableitungen

K. Seitz, F. Wild, B. Heck

Geodätisches Institut, Universität Karlsruhe (TH), Englerstr. 7, D-76128 Karlsruhe

Topographische Reduktionen in der Physikalischen Geodäsie

 

Theorie von Stokes

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Zielsetzung: Bestimmung des Geoids

Randwertproblem (RWP) nach Stokes:
• Randfläche = (Co-) Geoid
Topographische (+ isostatische) Reduktionen

 

 

Theorie von Molodensky

Zielsetzung: Bestimmung der Erdoberfläche S und des Schwerepotentials W im Außenraum

Randwertproblem nach Molodensky:

  • Prinzipiell sind keine topographischen Reduktionen erforderlich
  • Werden zur Glättung eingesetzt

→ RTM (Residual Terrain Modelling)
→ RRT (Remove-Restore Technique)

BILD

 

Approximation der (residualen) Topographie durch homogenes vertikales Prisma

  • Koordinatensystem ist das Kantensystem des Quaders
  • Transformation des Effekts des vertikalen Prismas auf δg und M in das topozentrische Horizontsystem des Berechnungspunktes P
  • Abstand zwischen dem Berechnungspunkt P und dem variablen Integrationspunkt Q:

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BILD

Einfluss auf das Potential in P

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Einfluss auf die Schwere in P

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Einfluss auf die zweite radiale Ableitung in P

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Für das vertikale Prisma mit konstanter Dichte existieren analytische Lösungen bezüglich des Potentials, seiner ersten Ableitungen und der Elemente des Marussi-Tensors
  • Hoher numerischer Aufwand
  • Rechenzeitintensive Auswertung der Funktionen atan und ln

 

Approximation der (residualen) Topographie durch Tesseroid

  • Begrenzt durch geographische Gitterlinien und Flächen konstanter Höhe
  • Unterteilung der Oberfläche des Referenzellipsoids bezüglich der geographischen Gitterlinien
  • Sphärische Approximation des Tesseroids
  • Abstand zwischen dem Berechnungspunkt P und dem variablen Integrationspunkt Q:
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Einfluss auf das Potential in P

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Einfluss auf die Schwere in P

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Einfluss auf die zweite radiale Ableitung in P

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Es existieren keine elementaren Lösungen: Elliptische Integrale !
  • Approximative Lösung durch Taylorreihenentwicklung des Integranden
  • Taylorpunkt = geometrischer Mittelpunkt des Tesseroids
  • Reihenentwicklung erster Ordnung → entspricht der Approximation durch eine Punktmasse
  • Terme zweiter Ordnung entfallen auf Grund der Symmetrie, falls der Taylorpunkt im Mittelpunkt des Tesseroids gewählt wird
  • In unserer Theorie dritter Ordnung verbleiben vier Koeffizienten

→ Einfache Handhabung, starke Reduzierung der erforderlichen Rechenzeit

 

Approximationsfehler des Potentials, seiner ersten und zweiten radialen Ableitung

Dimension des Tesseroids: 5’ x 5’ x 2 km
Berechnungspunkt P(r,φ,λ) am Pol

r = R + h;       h(V) = h(g*z) = 2 km;       h(Mrr) = 260 km

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Vergleich der Rechenzeit Tesseroid versus Punktmasse versus Prisma

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  • Potential und seine ersten und zweiten Ableitungen
  • Berechnet mit dem globalen DGM JGP95E (5’ x 5’)

→ Die Rechenzeit reduziert sich um das zehnfache, wenn Tesseroide an Stelle von Prismen verwendet werden